Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，點E是AB的中點，延長EO交⊙O于D點，若BC=DC，AB=2 ，求 的長度．

Answer 1

【答案】解：連結(jié)BD，如圖， ∵BC=DC，
∴ = ，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∵點E是AB的中點，即AE=BE= ，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在Rt△AEO中，∵∠EAO=30°，
∴OE= AE=1，AO=2OE=2，
∴ 的長度= = ．

【解析】連結(jié)BD，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，由BC=DC得 = ，則根據(jù)垂徑定理得到AC垂直平分BD，所以AB=AD，同樣可得DA=DB，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以∠BAC=30°，∠ABD=60°，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在Rt△AEO中計算出AO，最后利用弧長公式計算即可．
【考點精析】通過靈活運用三角形的外接圓與外心和弧長計算公式，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的即可以解答此題．