Question

【題目】如圖，已知點A(12，0)，O為坐標原點，P是線段OA上任一點(不含端點O、A).二次函數(shù)y1的圖象過P、O兩點.二次數(shù)y2的圖象過P、A兩點，它的開口均向下，頂點分別為B、C.射線OB與射線AC相交于點D.用當OD＝AD＝9時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝6，DE＝3.設P(2x，0)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出＝，＝，代入求出BF和CM，相加即可求出答案.

解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，

∴BF∥DE∥CM，

∵OD＝AD＝9，DE⊥OA，

∴OE＝EA＝OA＝6，

由勾股定理得：DE＝＝3.

設P(2x，0)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF＝PF＝x，

∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，

∴＝，＝，

∵AM＝PM＝(OA﹣OP)＝(12﹣2x)＝6﹣x，

即＝，＝，

解得：BF＝，CM＝3﹣x，

∴BF+CM＝3.

故答案為：3.