Question

已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0），他的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；
（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax²+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．寫(xiě)出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)

 

，寫(xiě)出符合題意的其中一條拋物線解析式

 

，并判斷你寫(xiě)出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)

 

．

Answer 1

分析：此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，C、D為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)：（1）先正確地畫(huà)出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，注意思維的嚴(yán)密性．
（2）因?yàn)锳BCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點(diǎn)D（2，m）的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)從而求解．
（3）注意思維的嚴(yán)密性，拋物線開(kāi)口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)也是在拋物線上，這個(gè)點(diǎn)既可能在點(diǎn)（3，4）的左邊，也可能在點(diǎn)（3，4）的右邊，過(guò)點(diǎn)（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長(zhǎng)即可確定拋物線上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)也是一樣地分為兩種情況來(lái)討論．

解答：解：（1）如圖1，
當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)CD=

2

；∠OCD=∠ODC=45°，
當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，
易得CL=小正方形的邊長(zhǎng)=DK=LK，故3a=CD=

2

．
解得a=

2

3

，所以小正方形邊長(zhǎng)為

1

3

2

，
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長(zhǎng)為

2

或

2

3

；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此時(shí)，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

．

（3）解：實(shí)際情況是拋物線開(kāi)口向上的兩種情況中，另一個(gè)點(diǎn)都在（3，4）的左側(cè)，而開(kāi)口向下時(shí)，另一點(diǎn)都在（3，4）的右側(cè)，與上述解析明顯不符合
1、當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)為（4，1），對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=-

3

7

x²+

55

7

；
2、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸正半軸上，點(diǎn)D 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在，
3、當(dāng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上，點(diǎn) B在 y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C 坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：不存在
4、當(dāng)點(diǎn)A在x 軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4）時(shí)：另外一個(gè)頂點(diǎn)C為（-1，3），對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是y=

1

8

x²+

23

8

；
5、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，-3）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=-

7

40

x2+

223

40

；
6、當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-4，7）時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線為y=

3

7

x²+

1

7

；
∵由拋物線的伴侶正方形的定義知，一條拋物線有兩個(gè)伴侶正方形，是成對(duì)出現(xiàn)的，
∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義題，題比較復(fù)雜，先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點(diǎn)所處的位置，因?yàn)樯婕暗较嚓P(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以過(guò)某一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識(shí)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．