Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，3），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y＝x成軸對(duì)稱，tan∠AOC＝．

（1）求k的值；

（2）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求直線AB的解析式；

（3）P是y軸上一點(diǎn)，且S△PBC＝2S△AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣3；（2）B（3，﹣1），直線AB的解析式為y＝﹣x+2；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）作AD⊥y軸于D，根據(jù)正切函數(shù)，可得AD的長，得到A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得k的值；

（2）根據(jù)題意即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；

（3）先根據(jù)S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面積為4，然后設(shè)P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出關(guān)于t的方程，解得即可．

解：（1）作AD⊥y軸于D，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，3），

∴OD＝3，

∵tan∠AOC＝．

∴，即，

∴AD＝1，

∴A（﹣1，3），

∵在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，

∴k＝﹣1×3＝﹣3；

（2）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y＝x成軸對(duì)稱，

∴B（3，﹣1），

∵A、B在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，

∴，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2；

（3）連接OC，

由直線AB為y＝﹣x+2可知，C（0，2），

∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，

∵P是y軸上一點(diǎn)，

∴設(shè)P（0，t），

∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，

∵S△PBC＝2S△AOB，

∴|t﹣2|＝2×4，

∴t＝或t＝﹣，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．