Question

【題目】如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心，交⊙O于A,C兩點，為⊙O的弦，連接BD, ，連接DO并延長交⊙O于點E，連接BE交⊙O 于點M .

(1)求證:直線BD是⊙O的切線;

(2)求切線BD的長;

(3)求線段BM的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，得：∠ADB=120°，由OA=OD，∠OAD=∠ODA=30°，進而可得：OD⊥BD，即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)OC=OD=x，由OB=2OD，列出方程，即可得到答案；

（3）連接DM，易證：DBM~EBD，從而得：，結(jié)合，即可求解.

（1）∵，

∴∠ADB=180°-30°-30°=120°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠ODB=∠ADB-∠ODA=120°-30°=90°，

即：OD⊥BD，

∴直線BD是⊙O的切線；

（2）設(shè)OC=OD=x，

∵在RtOBD中，∠ABD=30°，

∴OB=2OD，即：x+1=2x，解得：x=1，

∴OD=1，OB=2，

∴BD=；

（3）連接DM，

∵在RtBDE中，BD=，BE=2OD=2，

∴，

∵DE是直徑，

∴∠DME=90°，

∴∠BDM=90°-∠EBD=∠E，

∵∠DBM=∠EBD，

∴DBM~EBD，

∴，即：，

∴BM=.