Question

仔細(xì)想一想，聰明的你一定能完成下列問(wèn)題．
閱讀下列材料：
∵

1

2

(1-

1

3

)=

1

1×3

，

1

2

(

1

3

-

1

5

)=

1

3×5

，

1

2

(

1

5

-

1

7

)=

1

5×7

，…，

1

2

(

1

99

-

1

101

)=

1

99×101

，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

99

-

1

101

)=

1

2

(1-

1

101

)=

50

101

．
回答下列問(wèn)題：
（1）在和項(xiàng)

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中第7項(xiàng)是

 

，第n項(xiàng)是

 

；
（2）你能運(yùn)用類(lèi)似方法求出

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

…+

1

2006×2008

的值嗎？請(qǐng)你試一試；
（3）若α_n、β_n（其中n為不小于3的正整數(shù)）滿(mǎn)足α_n+β_n=-（2n+1），α_n•β_n=n²，請(qǐng)你運(yùn)用上述知識(shí)求

1

(α3+1)(β3+1)

+

1

(α4+1)(β4+1)

+…+

1

(α100+1)(β100+1)

的值．

Answer 1

分析：（1）觀(guān)察前邊式子的規(guī)律，可以看到：分母是連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)相乘．對(duì)應(yīng)的第n個(gè)式子的分母是（2n-1）（2n+1）；
（2）觀(guān)察分母的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)分母正好是兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，相差是2．所以拆開(kāi)的時(shí)候，相當(dāng)于擴(kuò)大了2倍，應(yīng)再除以2．然后運(yùn)用抵消的規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算；
（3）運(yùn)用整式乘法計(jì)算分母，發(fā)現(xiàn)：對(duì)應(yīng)的分母是n²-（2n+1）+1=n（n-2），運(yùn)用上述方法就可計(jì)算．

解答：解：（1）根據(jù)題意，是連續(xù)奇數(shù)列，
n=7時(shí)，2n-1=7，所以第7項(xiàng)是

1

13×15

，第n項(xiàng)是

1

(2n-1)(2n+1)

；（2分）

（2）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2006

-

1

2008

）
=

1

2

×（

1

2

-

1

2008

）
=

1

2

×

1003

2008

=

1003

4016

；（2分）

（3）原式=

1

3×1

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

98×100

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

98

-

1

100

)
=

1

2

（1-

1

100

）
=

99

200

．（4分）

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用分式的拆分進(jìn)行計(jì)算，尤其注意（3）小題綜合了上述兩種情況的規(guī)律，分別搭配計(jì)算．