【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是BA延長線一點(diǎn),點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),OP=OC.
(1)已知∠APO=18°,求∠DCO的度數(shù);
(2)求證:△OPC是等邊三角形;
(3)求證:AC=AO+AP.
【答案】(1)12°;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)利用等邊對等角,即可證得:∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD,據(jù)此即可求解;
(2)證明∠POC=60°且OP=OC,即可證得△OPC是等邊三角形;
(3)首先證明△OPA≌△CPE,則AO=CE,AC=AE+CE=AO+AP.
(1)解:如圖1,連接OB,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=×120°=60°,
∴OB=OC,∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC,
∴OB=OC=OP,
∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°;
∴∠DCO=30°-∠APO=30°-18°=12°;
(2)證明:∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,
∴∠APC+∠DCP=150°,
∵∠APO+∠DCO=30°,
∴∠OPC+∠OCP=120°,
∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°,
∵OP=OC,
∴△OPC是等邊三角形;
(3)證明:如圖2,在AC上截取AE=PA
,
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,
∴△APE是等邊三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°,
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,
∴∠APO=∠CPE,
∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中,
,
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴AO=CE,
∴AC=AE+CE=AO+AP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),DE⊥BC,∠ABC的角平分線BF交DE于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)M,連接PC.
(Ⅰ)若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度數(shù);
(Ⅱ)若AB=BC,BM2+CM2=m2(m>0),△PCM的周長為m+2時,求△BCM的面積(用含m的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝廠里有許多剩余的三角形邊角料,找出一塊△ABC,測得∠C=90°(如圖),現(xiàn)要從這塊三角形上剪出一個半圓O,做成玩具,要求:使半圓O與三角形的兩邊AB、AC相切,切點(diǎn)分別為D、C,且與BC交于點(diǎn)E.
(1)在圖中設(shè)計(jì)出符合要求的方案示意圖.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)Rt△ABC中,AC=3,AB=5,連接AO,求出AO的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD與BE交于點(diǎn)F,BH⊥AB于點(diǎn)B,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),連接FM并延長交BH于點(diǎn)H.
(1)如圖①所示,若∠ABC=30°,求證:DF+BH=BD;
(2)如圖②所示,若∠ABC=45°,如圖③所示,若∠ABC=60°(點(diǎn)M與點(diǎn)D重合),猜想線段DF、BH與BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,不需證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于E,且D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使CF=CE.
(1)∠ABC的度數(shù).
(2)求證:BE=FE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5。一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,爬行的最短路程是( )
A.25B.C.35D.無法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下表:
序號 | 1 | 2 | 3 | … |
圖形 | x x | |||
y | ||||
x x | x x x | |||
y y | ||||
x x x | ||||
y y | ||||
x x x | x x x x | |||
y y y | ||||
x x x x | ||||
y y y | ||||
x x x x | ||||
y y y | ||||
x x x x | … |
我們把某格中字母的和所得到的多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式,例如第1格的“特征多項(xiàng)式”為4x+y.回答下列問題:
(1)第2格的“特征多項(xiàng)式”為____,第n格的“特征多項(xiàng)式”為____;(n為正整數(shù))
(2)若第1格的“特征多項(xiàng)式”的值為-8,第2格的“特征多項(xiàng)式”的值為-11.
①求x,y的值;
②在此條件下,第n格的“特征多項(xiàng)式”是否有最小值?若有,求最小值和相應(yīng)的n值;若沒有,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,點(diǎn)D是射線CB上的一個動點(diǎn),△ADE是等邊三角形,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)EF.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時,
①求證:△AEF≌△ADC;
②聯(lián)結(jié)BE,設(shè)線段CD=x,線段BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)當(dāng)∠DAB=15°時,求△ADE的面積.
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