Question

已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點(diǎn)恰好都落在O點(diǎn)處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）在四邊形ABCD中，求

AB

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的判定定理，先證DE=BE，再證∠DOE=90°，則可證．
（2）根據(jù)已知條件和（1）的結(jié)論，先求得AD：AB，易求解

AB

BC

的值．

解答：（1）證明：連接OE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=OB，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，
即∠DAE=90°，
又四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）解：∵四邊形DEBF是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由題意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，
則∠ADB=60°，
∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：

3

，
又BC=AD，
則

AB

BC

=

3

．
說(shuō)明：其他解法酌情給分

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的判定定理及相關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，難度偏難．