【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c分別交x軸于A(4,0)、B(﹣1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,﹣3),過點(diǎn)A的直線y=﹣ x+3交拋物線于另一點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P位x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且Q到x軸的距離為 ,連接PC、PQ,當(dāng)△PCQ的周長最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的結(jié)論下,連接PD,在平面內(nèi)是否存在△A1P1D1 , 使△A1P1D1≌△APD(點(diǎn)A1、P1、D1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A、P、D,A1P1平行于y軸,點(diǎn)P1在點(diǎn)A1上方),且△A1P1D1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)m,若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線經(jīng)過A(4,0)和B(﹣1,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣4)(x+1),

把C(0,﹣3)代入y=a(x﹣4)(x+1),

∴﹣3=﹣4a,

∴a= ,

∴拋物線的解析式為y= (x﹣4)(x+1)= x2 x﹣3,

聯(lián)立 ,

解得:x=﹣2或x=4(舍去),

把x=﹣2代入y=﹣ x+3,

y= ,

∴D的坐標(biāo)為(﹣2, );


(2)

解:要使△PCQ的周長最小,

即只需要PC+PQ最小,

由題意知:Q到x軸的距離為 ,

即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣

設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1,

把A(4,0)和C(0,﹣3)代入y=k1x+b1,

,

解得: ,

∴直線AC的解析式為y= x﹣3,

把y=﹣ 代入y= x﹣3,

∴x= ,

∴Q的坐標(biāo)為( ,﹣ ),

設(shè)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為E,如圖1,

∴E的坐標(biāo)為(0,3),

設(shè)直線EQ的解析式為y=k2x+b2,

把Q( ,﹣ )和E(0,3)代入y=k2x+b2

,

∴直線EQ的解析式為y=﹣3x+3,

令y=0代入y=﹣3x+3,

∴x=1,

∴P的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),△PCQ的周長最;


(3)

解:過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,

過點(diǎn)D1作D1F1⊥A1P1,交A1P1的延長線于點(diǎn)F1

∵△A1P1D1≌△APD,

∴AF=A1F1=6,PF=P1F1=3,DF= ,

當(dāng)A1與P1在拋物線上時(shí),

∵A1P1∥y軸,

∴此情況不存在;

當(dāng)P1與D1在拋物線上時(shí),

∵A1的橫坐標(biāo)為m,

∴P1的坐標(biāo)為(m, m2 m﹣3),

若點(diǎn)D1在直線A1P1的右側(cè)時(shí),如圖2,

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m+ ,

把x=m+ 代入y= x2 x﹣3,

∴D1的坐標(biāo)為(m+ , m2+ m+ ),

∴F1的坐標(biāo)為(m, m2+ m+ ),

∴P1F1=( m2+ m+ )﹣( m2 m﹣3)

= m+ ,

m+ =3,

∴m=﹣ ,

若點(diǎn)D1在直線A1P1的左側(cè)時(shí),如圖3,

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m﹣ ,

把x=m﹣ 代入y= x2 x﹣3,

∴D1的坐標(biāo)為(m+ , m2﹣9m+ ),

∴F1的坐標(biāo)為(m, m2﹣9m+ ),

∴P1F1=( m2﹣9m+ )﹣( m2 m﹣3)

=﹣ m+ =3,

∴m= ,

當(dāng)A1與D1在拋物線上時(shí),

∵A1的橫坐標(biāo)為m,

∴A1的坐標(biāo)為(m, m2 m﹣3),

若點(diǎn)D1在直線A1P1的右側(cè)時(shí),如圖2,

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m+ ,

把x=m+ 代入y= x2 x﹣3,

∴D1的坐標(biāo)為(m+ , m2+ m+ ),

∴F1的坐標(biāo)為(m, m2+ m+ ),

∴A1F1=( m2+ m+ )﹣( m2 m﹣3)

= m+ ,

m+ =6,

∴m= ,

若點(diǎn)D1在直線A1P1的左側(cè)時(shí),如圖3,

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m﹣

把x=m﹣ 代入y= x2 x﹣3,

∴D1的坐標(biāo)為(m+ , m2﹣9m+ ),

∴F1的坐標(biāo)為(m, m2﹣9m+ ),

∴A1F1=( m2﹣9m+ )﹣( m2 m﹣3)

=﹣ m+ =6,

∴m=﹣

綜上所述,當(dāng)m=﹣ 、 、 、﹣ 時(shí),能滿足題意.


【解析】(1)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(4,0)和(﹣1,0),所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣4)(x+1),然后把(0,3)代入解析式即可求出拋物線的解析式,聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式即可求出D的坐標(biāo);(2)要求△PCQ的最小值,由于點(diǎn)Q是固定點(diǎn),所以CQ是固定不變的,所以還需要求出PC+PQ最短即可,作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EQ后與x軸交于點(diǎn)P,此時(shí)P點(diǎn)能夠使得PC+PQ最短;(3)由題意畫出圖形可知,點(diǎn)D1的位置有兩種情況,一種是D1在直線A1P1的左邊,另一種是D1在直線A1P1的右邊,另外△A1P1D1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上有三種情況,一是A1與P1在拋物線上,二是P1與D1在拋物線上,三是A1與D1在拋物線上,然后根據(jù)題意用含m的式子表示A1、P1、D1的坐標(biāo)出來,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可求出m的值.
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時(shí),圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí),圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時(shí),圖像與x軸沒有交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.2
B.3
C.
D.6

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A.2
B.
C.
D.6

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(4)

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