Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，點(diǎn)E為AD邊上一動點(diǎn)（不與A、D重合），連接CE，作EF⊥CE交AB邊于F
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）當(dāng)△ECF∽△AEF時，求AF的長；
（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，AD邊上是否存在異于點(diǎn)E的點(diǎn)G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，請猜想點(diǎn)G的位置，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)得∠A=∠D=90°，則∠AEF+∠AFE=90°，由EF⊥CE，則∠AFE=∠CED，得到∠AFE=∠CED，根據(jù)三角形相似的判定即可得到結(jié)論；
（2）由△AEF∽△DCE，根據(jù)相似的性質(zhì)得到AF：ED=EF：CE，同理由△ECF∽△AEF得EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，則AE=ED=

3

2

；再由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，代值即可求出AF；
（3）討論：①當(dāng)AE=DE，點(diǎn)G不存在；②當(dāng)AE≠DE，存在點(diǎn)G且AG=DE，由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，當(dāng)AG=DE，則DG=AE，得到AF：AG=DG：DC，根據(jù)三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=

3

2

，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：

3

2

=

3

2

：2，
∴AF=

9

8

；

（3）猜想：①當(dāng)AE=DE，點(diǎn)G不存在；
②當(dāng)AE≠DE，存在點(diǎn)G且AG=DE．證明如下：
如圖，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似；有兩組對應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)．