Question

如圖平面直角坐標系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分線交x軸于一點D．
（1）求D點的坐標；
（2）如圖所示，A、B兩點在x軸、y軸上的位置不變，在線段AB上有兩動點M、N，滿足∠MON=45°，下列結(jié)論（1）BM+AN=MN，（2）BM²+AN²=MN²，其中有且只有一個結(jié)論成立，請你判斷哪一個結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知DO=DE，即可證得OD=DE，進而可證得△BOD≌△BED；在Rt△ADE中，∠EAD=45°，則AE=DE=OD，那么AE+BE=OD+OB=AB，即OD=AB-OB，由此求出OD的長，從而得到D點的坐標．
（2）此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解；作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可證得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通過證△MON≌△EON，來得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根據(jù)勾股定理即可證得（2）的結(jié)論是正確的．

解答：解：（1）過點D作DE⊥AB于E，設(shè)D點坐標為（m，0），根據(jù)題意得：
OB=1，0A=1，0D=m；
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，所以AB=

2

，∠A=45°；（1分）
在△DOB和△EDB中，∠DOB=∠DEB，∠OBD=∠EBD，BD=BD，
∴△DOB≌△EDB，（2分）
∴OD=DE=m，OB=BE=1；（3分）
在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，
∴DE=AE=m，（4分）
∴1+m=

2

，
∴m=

2

-1，
∴D點坐標為（

2

-1，0）．（5分）

（2）結(jié)論②正確；
過點O作OE⊥OM，并使OE=0M，
在△MOB和△EOA中，
OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠B=∠OAE，（6分）
在△MON和△EON中，
OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，
∴△MON≌△EON；
∴MN=NE，（7分）
又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，
∴△NAE為直角三角形，（8分）
∴NA²+AE²=NE²
∴BM²+AN²=MN²，即結(jié)論②正確．（10分）

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用；能夠正確的構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．