【題目】感知:如圖1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.

探究:如圖2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求證:DB=DC.

應(yīng)用:如圖3,四邊形ABCD中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,則AB﹣AC= (用含a的代數(shù)式表示)

【答案】探究:證明見解析;應(yīng)用:a.

【解析】

試題分析:探究:欲證明DB=DC,只要證明△DFC≌△DEB即可.

應(yīng)用:先證明△DFC≌△DEB,再證明△ADF≌△ADE,結(jié)合BD=EB即可解決問題.

試題解析:探究:

證明:如圖②中,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=DEB,FCD=B,DF=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DC=DB.

應(yīng)用:解;如圖③連接AD、DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=DEB,FCD=B,DC=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DF=DE,CF=BE,在RT△ADF和RT△ADE中,AD=AD,DE=DF,∴△ADF≌△ADE,∴AF=AE,∴AB﹣AC=(AE+BE)﹣(AF﹣CF)=2BE,在RT△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=a,∴AB﹣AC=a.故答案為:a.

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