Question

【題目】如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象l1分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，正比例函數(shù)的圖象l2與l1交于點(diǎn)C（m，3），過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（n，0）作x軸的垂線與直線l1和l2分別交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求m的值及l2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PQ≤4時(shí)，求n的取值范圍；

（3）是否存在點(diǎn)P，使S△OPC＝2S△OBC？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=2，l2的解析式為y＝x；（2）0≤n≤4；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)(6，1)或(-2，5)．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；

（2）由l2與l1的函數(shù)解析式，可設(shè)P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，結(jié)合PQ≤4，列出關(guān)于n的不等式，進(jìn)而即可求解；

（3）設(shè)P(n，﹣n+4)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，分別列關(guān)于n的一元一次方程，即可求解．

（1）把C(m，3)代入一次函數(shù)y＝﹣x+4，可得：3＝﹣m+4，解得：m＝2，

∴C(2，3)，

設(shè)l2的解析式為y＝ax，則3＝2a，解得a＝，

∴l2的解析式為：y＝x；

（2）∵PQ∥y軸，點(diǎn)M(n，0)，

∴P(n，﹣n+4)，Q(n，n)，

∵PQ≤4，

∴|n+n﹣4|≤4，解得：0≤n≤4，

∴n的取值范圍為：0≤n≤4；

（3）存在，理由如下：

設(shè)P(n，﹣n+4)，

∵S△OBC=×4×2=4，S△OPC＝2S△OBC，

∴S△OPC=8，

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，

∴S△OBP=4+8=12，

∴×4n＝12，

解得：n＝6，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)(6，1)，

②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，

∴S△OBP=8-4=4，

∴×4(-n)＝4，解得：n＝-2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)(-2，5)．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)(6，1)或(-2，5)．