Question

【題目】已知直線l經(jīng)過A（6，0）和B（0，12）兩點(diǎn)，且與直線y=x交于點(diǎn)C．

（1）求直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P（x，0）在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)P作l的平行線交直線y=x于D，求△PCD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；S有最大值嗎？若有，求出當(dāng)S最大時(shí)x的值；

（3）若點(diǎn)P（x，0）在x軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線L解析式為y=kx+b，

將A（6，0）和B（0，12）代入，得：

，

解得： ，

∴直線L解析式為y=﹣2x+12；

（2）

解：解方程組： ，

得： ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，4），

∴S△COP= x×4=2x；

∵PD∥l，

∴ ，

而 = ，

∴ ，

即 ，

∴△PCD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

S=﹣ x2+2x，

∵S=﹣ （x﹣3）2+3，

∴當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值，最大值是3．

（3）

解：

存在點(diǎn)P，使得△PCA成為等腰三角形，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，4），A（6，0），

根據(jù)P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A時(shí)分別求出即可，

當(dāng)P1C=CA時(shí)，P1（2，0），

當(dāng)P2A=AC時(shí)，P2（6﹣2 ，0），

當(dāng)P3A=AC時(shí)，P3（6+2 ，0），

當(dāng)P4C=P4A時(shí)，P4（1，0），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：

P1（2，0），P2（6﹣2 ，0），P3（6+2 ，0），P4（1，0）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法將A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)而求出 ，再利用二次函數(shù)最值求出即可；（3）分別根據(jù)P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A時(shí)結(jié)合圖形求出即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．