Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），D(1，4)；（2）P (1，2)；（3）存在，M的坐標(biāo)為(1，)或(1，)或(1，1)或(1，0)

【解析】(1)直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．

(2)由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．

解：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1，0)，B(3，0)，兩點(diǎn)

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，3)， ∴3=-3a，∴a=-1，

∴y=-(x+1)(x-3)，即y=-x2+2x+3，

（2）連接BC，則直線BC與直線的交點(diǎn)即為使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b， 將B(3，0)，C(0，3)代入

得， ∴，

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3，

∵對(duì)稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2) .

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：

①M(fèi)A=MC ②MA=AC ③AC=MC

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，∴設(shè)M(1，m)

∵A(-1，0)，C(0，3) ∴MA2=m2＋4 MC2=m2－6m+10 AC2=10

①若MA=MC 則MA2=MC2 ∴m2＋4= m2－6m+10 ∴m=1，

②若MA=AC 則MA2=AC2 ∴m2＋4=10，∴m=±

③若MC=AC 則MC2=AC2 ∴m2－6m+10=10，∴m=0或m=6，

當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成在角形(舍去). 綜上可知：存在符合條件的點(diǎn)M，且坐標(biāo)為(1， )或(1， )或(1，1)或(1，0) .

“點(diǎn)睛”熟知上述性質(zhì)概念，本題綜合性很強(qiáng)，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)很多，要認(rèn)真審題才可解之，還需做輔助線求得，在二問(wèn)中有兩個(gè)答案易漏求，求得方法也不唯一，三問(wèn)中可求有五個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)不合題意需舍去，難度較大，屬于難題.