(2003•泰州)已知:如圖,⊙O與⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)A,AO是⊙O1的直徑,⊙O的弦AC交⊙O1于點(diǎn)B,弦DF經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于OC,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:DF與⊙O1相切;
(2)求證:2AB2=AD•AF;
(3)若AB=,cos∠DBA=,求AF和AD的長.

【答案】分析:(1)本題可連接O1B,證O1B⊥DF即可,由于OC⊥DF,因此只需證O1B∥OC即可.可通過不同圓中圓的半徑對應(yīng)的角相等來求得,由此可得證.
(2)本題可通過證△ABD和△AFC相似來求解.連接OB,則OB⊥AC,因此可根據(jù)垂徑定理得出AC=2AB,那么通過兩三角形相似得出的AD:AC=AB:AF,即可得出所求的結(jié)論.
(3)本題可先求出BF的長,然后根據(jù)相似三角形FCB和ACF得出的CF 2=CB•CA,求出CF的長,還是這兩個相似三角形,根據(jù)CF:AF=BC:CF求出AF的長,進(jìn)而可根據(jù)(2)的結(jié)果求出AD的長.
解答:(1)證明:連接O1B,
∵O1B=O1A,
∴∠O1AB=∠O1BA.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠O1BA=∠OCA.
∴O1B∥OC.
∵OC⊥DF,
∴O1B⊥DF.
∴DF與⊙O1相切.

(2)證明:連接OB,則OB⊥AC,
∴AC=2AB=2BC.
∵OC⊥DF,
∴弧DC=弧CF.
∴∠CAD=∠CAF.
∵∠D=∠ACF,
∴△ABD∽△AFC.

∵AC=2AB,
∴2AB2=AD•AF.

(3)解:直角△BEC中,BC=AB=2,cos∠CBE=cos∠DBA==,
∴BE=2,CE=4.
∵直角△OBE中,∠BOE=∠CBE=90°-∠BCO,BE=2,
∴BO=,OE=1.
∴AO=OC=OE+EC=5.
連接OF,直角△OEF中,OF=OA=5,OE=1,根據(jù)勾股定理有EF=2
∴BF=2+2.
∵弧DC=弧CF,
∴∠CAF=∠BFC.
∴△ACF∽△FCB.
∴CF2=CB•CA=2AB2=40.
∴CF=2

=,
∴AF=4+2
由(2)知:2AB2=AD•AF.
∴AD=4-2
點(diǎn)評:本題主要考查了切線的判定、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn),在(3)中通過相似三角形求出CF、AF的長是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求這條拋物線和直線的解析式.
(2)又直線y2=kx(k>0)與拋物線交于兩個不同的點(diǎn)A、B,與直線y1交于點(diǎn)P,分別過點(diǎn)A、B、P作x軸的垂線,垂足分別是C、D、H.
①試用含有k的代數(shù)式表示;
②求證:
(3)在(2)的條件下,延長線段BD交直線y1于點(diǎn)E,當(dāng)直線y2繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時,問是否存在滿足條件的k值,使△PBE為等腰三角形?若存在,求出直線y2的解析式;若不存在,請說明理由.

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(1)求這條拋物線和直線的解析式.
(2)又直線y2=kx(k>0)與拋物線交于兩個不同的點(diǎn)A、B,與直線y1交于點(diǎn)P,分別過點(diǎn)A、B、P作x軸的垂線,垂足分別是C、D、H.
①試用含有k的代數(shù)式表示
②求證:
(3)在(2)的條件下,延長線段BD交直線y1于點(diǎn)E,當(dāng)直線y2繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時,問是否存在滿足條件的k值,使△PBE為等腰三角形?若存在,求出直線y2的解析式;若不存在,請說明理由.

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(1)求證:DF與⊙O1相切;
(2)求證:2AB2=AD•AF;
(3)若AB=,cos∠DBA=,求AF和AD的長.

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(1)求證:DF與⊙O1相切;
(2)求證:2AB2=AD•AF;
(3)若AB=,cos∠DBA=,求AF和AD的長.

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