Question

（2012•南寧）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；
（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論．
（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，繼而可得出結(jié)論．
（3）作OM⊥AD，設(shè)DE=x，則MO=

1

2

x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四邊形AGEF是菱形．

（2）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，
∴ON⊥BC，
∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，
∴ON是梯形ABCE的中位線，
∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．

（3）作OM⊥AD，

設(shè)DE=x，則MO=

1

2

x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE為△AED的外接圓的直徑．
延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD，
∵四邊形MNCD是矩形，
∴MN=CD=4，
∴ON=MN-MO=4-

1

2

x，
∵△AED的外接圓與BC相切，
∴ON是△AED的外接圓的半徑，
∴OE=ON=4-

1

2

x，AE=8-x，
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴2²+x²=（8-x）²，
得x=DE=

15

4

，OE=4-

1

2

x=

17

8

，
∵△FEO∽△AED，
∴

OE

DE

=

OF

AD

，
解得：FO=

17

15

，
∴FG=2FO=

34

15

．
故折痕FG的長(zhǎng)是

34

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換的知識(shí)，涉及了菱形的判定，難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵在于得出ON、OE均是△AED的外接圓的半徑，難度較大．