Question

（2013•莆田）如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）．與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若△ACD的面積為3．
①求拋物線的解析式；
②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點(diǎn)P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-3和1，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），再配方為頂點(diǎn)式，可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到DE的長，然后由S_△ACD=

1

2

×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式；
②先運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數(shù)求出tan∠DAC=

1

3

．設(shè)y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=-（x+m）²+4，兩條拋物線交于點(diǎn)P，直線AP與y軸交于點(diǎn)F．根據(jù)正切函數(shù)的定義求出OF=1．分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）如圖2①，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）．針對(duì)這兩種情況，都可以先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再得出m的值，進(jìn)而求出平移后拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a，
∵y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4a）；

（2）如圖1，①設(shè)AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E．
∵拋物線y=ax²+2ax-3a與y軸交于點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3a）．
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+t，
則：

-3k+t=0 t=-3a

，
解得：

k=-a t=-3a

，
∴直線AC的解析式為：y=-ax-3a，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-1，-2a），
∴DE=-4a-（-2a）=-2a，
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-2a）×3=-3a，
∴-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

②∵y=-x²-2x+3，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），C（0，3），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（4-0）²=20，CD²=（-1-0）²+（4-3）²=2，AC²=（0+3）²+（3-0）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=

CD

AC

=

2 18

=

1

3

，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=

1

3

．
如圖2，設(shè)y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=-（x+m）²+4，兩條拋物線交于點(diǎn)P，直線AP與y軸交于點(diǎn)F．
∵tan∠PAB=

OF

OA

=

OF

3

=

1

3

，
∴OF=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）．
分兩種情況：
（Ⅰ）如圖2①，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，易求直線AF的解析式為y=

1

3

x+1，
由

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

，解得

x1= 2 3 y1= 11 9

，

x2=-3 y2=0

（舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，

11

9

），
將P點(diǎn)坐標(biāo)（

2

3

，

11

9

）代入y=-（x+m）²+4，
得

11

9

=-（

2

3

+m）²+4，
解得m₁=-

7

3

，m₂=1（舍去），
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x-

7

3

）²+4；
（Ⅱ）如圖2②，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，易求直線AF的解析式為y=-

1

3

x-1，
由

y=- 1 3 x-1 y=-x2-2x+3

，解得

x1= 4 3 y1=- 13 9

，

x2=-3 y2=0

（舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

，-

13

9

），
將P點(diǎn)坐標(biāo)（

4

3

，-

13

9

）代入y=-（x+m）²+4，
得-

13

9

=-（

4

3

+m）²+4，
解得m₁=-

11

3

，m₂=1（舍去），
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x-

11

3

）²+4；
綜上可知，平移后拋物線的解析式為y=-（x-

7

3

）²+4或y=-（x-

11

3

）²+4．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)的定義，三角形的面積、兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，函數(shù)平移的規(guī)律等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是方程思想、數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．