Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE的值最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，﹣2)；（3）當(dāng)m=2時(shí)，PE的值最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-6)

【解析】

（1）把已知的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法直接求解．

（2）利用△POC是以OC為底邊的等腰三角形，所以，所以P在OC的垂直平分線上，點(diǎn)P在直線BC下方拋物線上，所以P是垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，通過解方程得到答案．

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交BC于E，設(shè)出P的坐標(biāo)，可知E的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)相同，利用直線BC的解析式表示E的縱坐標(biāo)，由PE＝建立函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．

解：（1）設(shè)拋物線為：

把A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)代入得：

解得：

所以拋物線解析式為

（2）作OC的垂直平分線DP，

交OC于點(diǎn)D，交BC下方

拋物線于點(diǎn)P，如圖1，

∴PO=PD，

此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，

∵C（0，-4），

∴D（0，﹣2），

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，

代入拋物線解析式可得，

解得（小于0，舍去），

∴存在滿足條件的P點(diǎn)，

其坐標(biāo)為（，﹣2）

（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，

可設(shè)P（m，m2-3m-4）

由B（4，0），C（0，-4）

所以直線B C的解析式為：y=x-4

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，m-4）

∴PE= (m-4)-( m2-3m-4)

=-m2+4m

=-(m-2)2+4

∵-1<0

∴當(dāng)m=2時(shí)，PE的值最大，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-6）