【題目】已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).
(1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖1),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
【答案】解:(1)證明:∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn),AC=BC,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CAD=∠CBD=45°,
∴∠CAE=∠BCG,又BF⊥CE,
∴∠CBG+∠BCF=90°,又∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACE=∠CBG,
∴△AEC≌△CGB,
∴AE=CG,
(2)BE=CM,
證明:∵CH⊥HM,CD⊥ED,
∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,
∴∠CMA=∠BEC,
又∵AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,
∴△BCE≌△CAM,
∴BE=CM.
【解析】
⑴證明:設(shè)∠ACE=∠1,因?yàn)橹本BF垂直于CE,交CE于點(diǎn)F,所以∠CFB=90°,
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因?yàn)?/span>∠1+∠ECB=90°,所以∠1=∠CBF .
因?yàn)?/span>AC="BC," ∠ACB=90°,所以∠A=∠CBA=45°.
又因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以∠DCB=45°.
因?yàn)?/span>∠1=∠CBF,∠DCB=∠A,AC=BC,所以△CAE≌△BCG,所以AE=CG.
(2)解:CM=BE.證明如下:因?yàn)?/span>∠ACB=90°,所以∠ACH +∠BCF=90°.
因?yàn)?CH⊥AM,即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以∠BCF=∠CAH.
因?yàn)?CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,所以 CD=AD.所以∠ACD=45°.
在△CAM與△BCE中,CA=BC,∠CAH =∠BCF, ∠ACM =∠CBE,
所以 △CAM ≌△BCE,所以CM=BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2),且|2a﹣b+8|+(a+b﹣2)2=0.
(1)求a、b的值;
(2)如圖1,點(diǎn)G在y軸上,三角形COG的面積是三角形ABC的面積的,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)如圖2,過點(diǎn)C作CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段CD延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接OP、AC、DB,OE平分∠AOP,OF⊥CE,若∠OPD+k∠DOF=k(∠FOP+∠AOE),現(xiàn)將四邊形ABDC向下平移k個(gè)單位得到四邊形A1B1D1C1,已知AM+BN =k,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】一商場有A、B、C三種型號(hào)的甲品牌電腦和D、E兩種型號(hào)的乙品牌電腦,某中學(xué)準(zhǔn)備從甲、乙兩種品牌的電腦中各選購一種型號(hào)的電腦安裝到各班教室.
(1)寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表法表示);
(2)若(1)中各種選購方案被選中的可能性相同,那么A型號(hào)被選中的概率是多少?
(3)已知該中學(xué)用18萬元人民幣購買甲、乙兩種品牌電腦剛好32臺(tái)(價(jià)格如下表所示,單位:萬元),其中甲品牌電腦選為A型號(hào),求該中學(xué)購買到A型號(hào)電腦多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光明中學(xué)七年級(jí)1班同學(xué)積極響應(yīng)“陽光體育工程”的號(hào)召,利用課外活動(dòng)時(shí)間積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從長跑、籃球、鉛球、立定跳遠(yuǎn)中選一項(xiàng)進(jìn)行訓(xùn)練,訓(xùn)練前后都進(jìn)行了測試.現(xiàn)將項(xiàng)目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃測試成績整理后作出如下統(tǒng)計(jì)圖表.
項(xiàng)目選擇情況統(tǒng)計(jì)圖訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃測試進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)表
進(jìn)球數(shù)(個(gè)) | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
人數(shù) | 2 | 1 | 4 | 7 | 8 | 2 |
請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息回答下列問題:
(1)選擇長跑訓(xùn)練的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是_____%,該班共有同學(xué)_____人;
(2)求訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃人均進(jìn)球數(shù);
(3)根據(jù)測試資料,訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃的人均進(jìn)球數(shù)比訓(xùn)練之前人均進(jìn)球數(shù)增加25%.請(qǐng)求出參加訓(xùn)練之前的人均進(jìn)球數(shù).
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【題目】用四塊完全相同的小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形.
(1)用不同代數(shù)式表示圖中的陰影部分的面積,你能得到怎樣的等式:________;
(2)利用(1)中的結(jié)論.計(jì)算:,,求的值;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論.若.求的值.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(6,0),(6,8).動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中,點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)N作NP⊥BC,交AC于P,連接MP.已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.
(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)試求△MPA面積的最大值,并求此時(shí)x的值;
(3)請(qǐng)你探索:當(dāng)x為何值時(shí),△MPA是一個(gè)等腰三角形?你發(fā)現(xiàn)了幾種情況?寫出你的研究成果.
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【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止,同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止,點(diǎn)、的速度都是每秒1個(gè)單位,連接、、.設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒
(1)當(dāng)為何值時(shí),四邊形是矩形;
(2)當(dāng)時(shí),判斷四邊形的形狀,并說明理由;
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【題目】如圖,在等腰直角中,,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接,以為直角頂點(diǎn)做等腰直角,連接交于點(diǎn),若,則的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】郴州市正在創(chuàng)建“全國文明城市”,某校擬舉辦“創(chuàng)文知識(shí)”搶答賽,欲購買A、B兩種獎(jiǎng)品以鼓勵(lì)搶答者.如果購買A種20件,B種15件,共需380元;如果購買A種15件,B種10件,共需280元.
(1)A、B兩種獎(jiǎng)品每件各多少元?
(2)現(xiàn)要購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件,總費(fèi)用不超過900元,那么A種獎(jiǎng)品最多購買多少件?
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