【題目】已知:在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,且OC=OB=3OA.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設點D是點C關于此拋物線對稱軸的對稱點,直線AD,BC交于點P,試判斷直線AD,BC是否垂直,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,若點M,N分別是射線PC,PD上的點,問:是否存在這樣的點M,N,使得以點P,M,N為頂點的三角形與△ACP全等?若存在請求出點M,N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3; (2)AD⊥BC;(3)存在,M1(1,-2),N1(4,-3).或M2(0,-3),N2(3,-2).
【解析】試題分析:
(1)由題中條件:二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,且OC=OB=3OA,可得點C(0,-3)、點A(-1,0)、點B(3,0),把A、B兩點的坐標代入解析式可求得a、b的值,就可得到解析式了;
(2)把(1)中所求解析式配方化為頂點式,得到對稱軸方程,就可得到D的坐標,再由A、B、C、D四點的坐標列方程組可求得直線AD和直線BC的解析式,計算兩解析式中“k”的值的乘積是否為“-1”就可判斷兩直線是否垂直了;
(3)如圖,由(2)中所得AD、BC的解析式可列方程組解得P的坐標,由射線BC和射線AD互相垂直,垂足為點P,可知△APC和△PMN都是直角三角形;然后分以下兩種情況討論:①當PN=PA,M與C重合時,△APC與△PMN全等;②當PM=PA,N與D重合時,△APC與△PMN全等,并求出相應的點M、N的坐標.
試題解析:
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)與y軸交于點C,
∴點C的坐標為(0,-3),
∴OC=3,
又∵OC=OB=3OA,
∴OB=3,OA=1,
又∵二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè),
∴點A、B的坐標分別為(-1,0)、(3,0),
把A、B的坐標代入解析式y=ax2+bx-3(a>0)得: ,解得: ,
∴二次函數(shù)解析式為: ;
(2)由可知,該拋物線的對稱軸為直線; ,
∵點D和點C(0,-3)關于直線對稱,
∴點D的坐標為(2,-3),
設直線AD和直線BC的解析式分別為; ,把A、B、C、D的坐標分別代入相應的解析式得: , ,
解得: , ,
∴直線AD的解析式為: ;直線BC的解析式為: ,
∴,
∴直線AD和直線BC是互相垂直的;
(3)存在使△APC和△PMN全等的點M和N,理由如下:
由: 解得 ,
∴點P的坐標為(1,-2),
如上圖:∵射線BC和射線AD互相垂直,垂足為點P,
∴△APC與△PMN都是直角三角形,
∴在下列兩種情況下兩個三角形全等;
①當M與C重合,PN=PA時,兩三角形全等,此時M坐標為(0,-3),由線段中點坐標公式可得N的坐標為(3,-4);
②當N與D重合,PM=PA時,兩個三角形全等,此時N的坐標為(2,-3),由兩點間距離公式可求得M的坐標為(-1,-4);
綜合①②可知當點M、N的坐標為:
或時,△APC與△PMN全等.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC交⊙O于點E,連接AE.
(1)若D為AC的中點,連接DE,證明:DE是⊙O的切線;
(2)若BE=3EC,求tan∠ABC.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1).
(1)在圖中作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1;寫出點△A1,B1,C1的坐標(直接寫答案):A1 ;B1 ;C1 ;
(2)△A1B1C1的面積為 ;
(3)在y軸上畫出點P,使PB+PC最小.
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【題目】一個正五邊形,將它繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合,則至少應將它旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是( )
A. 60°B. 72°C. 90°D. 108°
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【題目】下列調(diào)查中,最適合采用全面調(diào)查(普查)方式的是( )
A. 對宜春市居民日平均用水量的調(diào)查
B. 對宜春一套《民生直通車》欄目收視率的調(diào)查
C. 對一批LED節(jié)能燈使用壽命的調(diào)查
D. 對某校七年級(1)班同學的身高情況的調(diào)查
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