【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,弦CD交AB于E,連接OD、PC、BC,∠AOD=2∠ABC,∠P=∠D,過E作弦GF⊥BC交圓與G、F兩點,連接CF、BG.則下列結(jié)論:①CD⊥AB;②PC是⊙O的切線;③OD∥GF;④弦CF的弦心距等于BG.則其中正確的是( 。

A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

【答案】A

【解析】

連接BDOC、AG、AC,過OOQCFQ,OZBGZ,求出ABC=∠ABD,從而有弧AC=AD由垂徑定理的推論即可判斷的正誤;

CDPB可得到P+∠PCD=90°,結(jié)合P=∠DCO、等邊對等角的知識等量代換可得到PCO=90°,據(jù)此可判斷的正誤;假設(shè)ODGF成立,則可得到ABC=30°,判斷由已知條件能否得到ABC的度數(shù)即可判斷的正誤;求出CF=AG根據(jù)垂徑定理和三角形中位線的知識可得到CQ=OZ,通過證明OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ結(jié)合垂徑定理即可判斷④.

連接BD、OCAG,過OOQCFQ,OZBGZ

OD=OB,

∴∠ABD=∠ODB

∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD,

∵∠AOD=2∠ABC

∴∠ABC=∠ABD

∴弧AC=AD,

AB是直徑,

CDAB,

∴①正確;

CDAB

∴∠P+∠PCD=90°,

OD=OC

∴∠OCD=∠ODC=∠P,

∴∠PCD+∠OCD=90°,

∴∠PCO=90°,

PC是切線,∴②正確;

假設(shè)ODGF,則∠AOD=∠FEB=2∠ABC

∴3∠ABC=90°,

∴∠ABC=30°,

已知沒有給出∠B=30°,∴③錯誤;

AB是直徑,

∴∠ACB=90°,

EFBC,

ACEF,

∴弧CF=AG,

AG=CF,

OQCF,OZBG,

CQ=AG,OZ=AG,BZ=BG,

OZ=CQ,

OC=OB,∠OQC=∠OZB=90°,

∴△OCQ≌△BOZ,

OQ=BZ=BG,

∴④正確.

故選:A.

練習冊系列答案
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