Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，A、B為切點(diǎn)，∠OAB=30度．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）當(dāng)OA=3時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）方法1，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數(shù)，可將∠APB的度數(shù)求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數(shù)求出；
（2）方法1，作輔助線(xiàn)，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數(shù)，可將AP的長(zhǎng)求出；方法2，作輔助線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△OAD中，將AD的長(zhǎng)求出，從而將AB的長(zhǎng)求出，也即AP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）方法一：
∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四邊形OAPB中，
∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．

方法二：
∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA，
∴∠BAP=90°-30°=60°，
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠APB=60°．

（2）方法一：如圖①，連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，
∴PO平分∠APB，即∠APO=

1

2

∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP=

OA

tan30°

=3

3

．

方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D；
∵在△OAB中，OA=OB，
∴AD=

1

2

AB；
∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴AD=OA•cos30°=

3 3

2

，
∴AP=AB=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．