Question

如圖1，直線y=-

2

3

x+2與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0）．

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）P在線段BC上的一個動點(diǎn)（與B、C不重合），過點(diǎn)P作直線a∥y軸，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△BCE的面積為S．
①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
②求S的最大值，并判斷此時△OBE的形狀，說明理由；
（3）過點(diǎn)P作直線b∥x軸（圖2），交AC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在y=-

2

3

x+2中，令y=0，得-

2

3

x+2=0，解得x=3，
令x=0，得y=2，
∴B（3，0），C（0，2），
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

，
∴拋物線解析式為，y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作直線a∥y軸，
∴EP=-

2

3

m²+

4

3

m+2-（-

2

3

m+2）=-

2

3

m²+2m，
∴△BCE的面積為S=

1

2

EP•|x_B-x_C|=

1

2

×（-

2

3

m²+2m）×|3-0|=-m²+3m，
∵P在線段BC上的一個動點(diǎn)（與B、C不重合），
∴0＜m＜3，
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-m²+3m（0＜m＜3）；
②∵S=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)m=

3

2

時，S_最大值=

9

4

，
當(dāng)m=

3

2

時，P是BC的中點(diǎn)，OE=BE，EF=

9

4

，
∴△OBE是等腰三角形；

（3）令y=0，則-

2

3

x²+

4

3

x+2=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），
易得直線AC的解析式為y=2x+2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-

2

3

m+2，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-

2

3

m+2，
代入直線AC得，2x+2=-

2

3

m+2，
解得x=-

1

3

m，
∴PQ=m-（-

1

3

m）=

4

3

m，
①當(dāng)PQ是等腰直角三角形△PQR的直角邊時，

4

3

m=-

2

3

m+2，
解得m=1，
∴QR是直角邊時，點(diǎn)R₁（-

1

3

，0），
PQ是直角邊時，點(diǎn)R₂（1，0），
②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜邊時，

1

2

×

4

3

m=-

2

3

m+2，
解得m=

3

2

，
∴PQ=

4

3

m=

4

3

×

3

2

=2，
OR=m-

1

2

PQ=

3

2

-

1

2

×2=

1

2

，
∴點(diǎn)R₃（

1

2

，0），
綜上所述，x軸上存在點(diǎn)R（-

1

3

，0）或（1，0）或（

1

2

，0），使得△PQR為等腰直角三角形．