Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)，，且、滿足，的邊與軸交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)、的坐標(biāo)；

（3）以線段為對角線作正方形（如圖，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，交于，當(dāng)在上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；，；，；（3）的值不發(fā)生改變.

【解析】

（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，故可得出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，由，可知，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出的值即可；

（2）由（1）知可知反比例函數(shù)的解析式為，再由點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，設(shè)，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出的值，故可得出、的坐標(biāo)；

（3）連、、，易證，故，，由此即可得出結(jié)論．

（1），

，

解得：，

，，

為中點(diǎn)，

，

設(shè)，

又，

，

，

，

；

（2）由（1）知，

反比例函數(shù)的解析式為，

點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，

設(shè)，，

①當(dāng)為邊時：

如圖1，若為平行四邊形，

則，

解得，

此時，；

如圖2，若為平行四邊形，

則，

解得，

此時，；

②如圖3，當(dāng)為對角線時，

，且；

，

解得，

，；

故，；，；，；

（3）的值不發(fā)生改變，

理由：如圖4，連、、，

是線段的垂直平分線，

，

四邊形是正方形，

，

在與中，，

，

，

，

四邊形中，，而，

所以，，所以，四邊形內(nèi)角和為，

所以．

，

．