Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為(O，2)，直線AB交軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長(zhǎng)為m，△BED的面積為S．
（1）當(dāng)時(shí)，求S的值．
（2）求S關(guān)于的函數(shù)解析式．
（3）①若S＝時(shí)，求的值；
②當(dāng)m＞2時(shí)，設(shè)，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

（1）；（2）；（3）①；②，證明見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)△ABE∽△CBO求出CO的長(zhǎng)，從而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△BED的面積S．
（2）分和兩種情況討論.
（3）①連接AD，由△BED的面積為求出現(xiàn)，得到點(diǎn)A 的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)
得到，從而.
②連接AD，應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)得到，從而得到，因此.
得到，從而
試題解析：（1）∵點(diǎn)A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥y軸于點(diǎn)E，且，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為. ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴BE=OE=1.
∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸. ∴△ABE∽△CBO.∴，即，解得.
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴.
∴.
（2）①當(dāng)時(shí)，如圖，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴△DBO≌△CBO.
∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO .∴.∴
∴.

②當(dāng)時(shí)，如圖，同①可得

綜上所述，S關(guān)于的函數(shù)解析式.
（3）①如圖，連接AD，
∵△BED的面積為，∴.∴點(diǎn)A 的坐標(biāo)為.
設(shè)，∴.
∴.
∴.

②k與m的數(shù)量關(guān)系為，證明如下：
連接AD，則
∵，∴.
∴.
∵點(diǎn)A 的坐標(biāo)為，∴.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.軸對(duì)稱的性質(zhì)；6.分類思想和待定系數(shù)法的應(yīng)用.