Question

已知：如圖，直線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，且BC=3，Ac=4．
（1）求半徑OC的長(zhǎng)；
（2）在切線EF上找一點(diǎn)M，使得以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似．

Answer 1

分析：（1）由于OC是半徑，因此可在Rt△ACB中，利用勾股定理求得直徑AB長(zhǎng)即可；
（2）由弦切角定理知：∠BCF=∠A，因此只需令∠CBM=∠OCA即可，由于△AOC是等腰三角形，若存在M點(diǎn)，則△BMC也必為等腰三角形，因此M點(diǎn)可能有兩種情況：①M(fèi)點(diǎn)為BC垂直平分線與EF的交點(diǎn)；②以B為圓心，BC為半徑作弧，與EF的交點(diǎn)即為M點(diǎn)．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∵BC=3，AC=4
∴AB=

AC2+BC2

=5
∴OC=

1

2

AB=

5

2

；

（2）∵EF是⊙O的切線，
∴∠BCF=∠A，
因此點(diǎn)M必在射線CF上，
設(shè)點(diǎn)M在射線CF上，截取CM₁=

15

8

，CM₂=

24

5

，
那么點(diǎn)M₁、M₂為符合條件的點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；需注意的是題中的相似三角形沒(méi)有告訴對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，應(yīng)分情況進(jìn)行討論．