Question

【題目】如圖，在中，，過點作于點，點是線段上一動點，過三點作交于點，過點作交的延長線于點，交于點.

（1）求證：四邊形為平行四邊形.

（2）當時，求的長.

（3）在點整個運動過程中，

①當中滿足某兩條線段相等，求所有滿足條件的的長.

②當點三點共線時，交于點，記的面積為，的面積為，求的值. （請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PD＝；（3）①或或PF＝；②

【解析】

（1）證明兩組對邊分別平行即可證明四邊形FEBP為平行四邊形；

（2）①由AC＝10，sinC＝，可得BC＝6，AB＝8，sinA＝，所以AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×＝，再求得AP＝，最后PD＝AD﹣AP解答即可；

②分三種情況討論：Ⅰ．當PF＝PD時，Ⅱ．當QF＝PD時，Ⅲ．當QF＝PF時，分別解答即可；

③連接FD，求出FD的長，再利用勾股定理求出QF的長．

（1）證明：

∵，

∴，

∴，且，∴.

又∵，

所以四邊形是平行四邊形.

（2）在中，∵，

∴.

∵，

， .

∴

（3）設，則，

①當時，如圖.

∴

∴，

∴.

②當時，如圖，連結(jié).

∴，即

∴，所以.

由（1）得：四邊形為平行四邊形，

∴，

在中，易得

∴，

則，

∴.

③當時，如圖，連結(jié).

∵

∴，

∴

在中，易得

∴，且.

∴，

∴.

∴，

∴，

綜上所述，所有滿足條件的PF的長有：；

②連接QD，連接FD，交BP于點H．

∵Q，O，D三點共線

∴QD為⊙O直徑．

∵EF∥BP，O為QD中點，

∴H為DF中點，

∵BP為直徑，

∴BP⊥DF，，

∴PF＝PD．

設PF＝3x，則AF＝4x，AP＝5x

AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×，

∴PD＝AD﹣AP＝﹣5x，

∴3x＝﹣5x，

∴x＝，PF＝PD＝，

在Rt△ABC中，BD＝，

在Rt△PDB中，DH＝，

∴DF＝，

在Rt△DQF中，QF＝，

易知△FQM∽△BDM，

∴．