Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)C，拋物線過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點(diǎn)E，連接BE，與直線AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的值．

（3）點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為或；（3）存在，M的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）先求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解；

（2）如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則易得△BFG∽△BEH，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)EH與FG的關(guān)系列出關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；

（3）①當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，BN為對角線與點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，BM為對角線，利用平移的性質(zhì)即可求出結(jié)果；②當(dāng)EB為平行四邊形的對角線時(shí)，利用平行四邊形對角線的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

解：（1）在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

∴、，

∵拋物線的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）令，解得，，∴，

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則，

如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則，∴△BFG∽△BEH，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴，

解得，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，，

當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為時(shí)，在中，，，

∴，

∴；

同理，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為時(shí)，，

∴的值為或；

（3）∵點(diǎn)N在對稱軸上，∴，

∵點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè)，∴.

①當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：

（Ⅰ）點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，BN為對角線，

∵，，，，

∴，當(dāng)時(shí)，，

∴；

（Ⅱ）點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，BM為對角線，

∵，，，，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴；

②當(dāng)EB為平行四邊形的對角線時(shí)，

∵，，，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

∴；

綜上所述，M的坐標(biāo)為或或．