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(2013•錫山區(qū)一模)如圖,已知:如圖,在直角坐標系中,有菱形OABC,A點的坐標為(10,0),對角線OB、AC相交于D點,雙曲線y=
k
x
(x>0)經過D點,交BC的延長線于E點,且OB•AC=160,有下列四個結論:
①雙曲線的解析式為y=
40
x
(x>0);②E點的坐標是(5,8);③sin∠COA=
4
5
;④AC+OB=12
5
.其中正確的結論有( 。
分析:過點C作CF⊥x軸于點F,由OB•AC=160可求出菱形的面積,由A點的坐標為(10,0)可求出CF的長,由勾股定理可求出OF的長,故可得出C點坐標,對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標,用待定系數法可求出雙曲線y=
k
x
(x>0)的解析式,由反比例函數的解析式與直線BC的解析式聯立即可求出E點坐標;由sin∠COA=
CF
OC
可求出∠COA的正弦值;根據A、C兩點的坐標可求出AC的長,由OB•AC=160即可求出OB的長.
解答:解:過點C作CF⊥x軸于點F,
∵OB•AC=160,A點的坐標為(10,0),
∴OA•CF=
1
2
OB•AC=
1
2
×160=80,菱形OABC的邊長為10,
∴CF=
80
OA
=
80
10
=8,
在Rt△OCF中,
∵OC=10,CF=8,
∴OF=
OC2-CF2
=
102-82
=6,
∴C(6,8),
∵點D時線段AC的中點,
∴D點坐標為(
10+6
2
,
8
2
),即(8,4),
∵雙曲線y=
k
x
(x>0)經過D點,
∴4=
k
8
,即k=32,
∴雙曲線的解析式為:y=
32
x
(x>0),故①錯誤;
∵CF=8,
∴直線CB的解析式為y=8,
y=
32
x
y=8
,解得x=4,y=8,
∴E點坐標為(4,8),故②錯誤;
∵CF=8,OC=10,
∴sin∠COA=
CF
OC
=
8
10
=
4
5
,故③正確;
∵A(10,0),C(6,8),
∴AC=
(10-6)2+(0-8)2
=4
5
,
∵OB•AC=160,
∴OB=
160
AC
=
160
4
5
=8
5
,
∴AC+OB=4
5
+8
5
=12
5
,故④正確.
故選B.
點評:本題考查的是反比例函數綜合題,涉及到菱形的性質及反比例函數的性質、銳角三角函數的定義等相關知識,難度適中.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•錫山區(qū)一模)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點A,B坐標分別為(8,4),(0,4),線段CD在于x軸上,CD=3,點C從原點出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位長度向右平移,點D隨著點C同時同速同方向運動,過點D作x軸的垂線交線段AB于點E,交OA于點G,連接CE交OA于點F.設運動時間為t,當E點到達A點時,停止所有運動.

(1)求線段CE的長;
(2)記S為Rt△CDE與△ABO的重疊部分面積,試寫出S關于t函數關系式及t的取值范圍;
(3)如圖2,連接DF,
①當t取何值時,以C,F,D為頂點的三角形為等腰三角形?
②直接寫出△CDF的外接圓與OA相切時t的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•錫山區(qū)一模)(1)計算:2-1+
3
cos30°+|-5|-(π-2013)0
(2)先化簡:(1+
1
x-2
)÷
x-1
x2-2x
,再用一個你最喜歡的數代替x計算結果.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•錫山區(qū)一模)2013年清明小長假期間,無錫火車站發(fā)送旅客約21.7萬人次,將21.7萬用科學記數法表示為
2.17×105
2.17×105

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•錫山區(qū)一模)設反比例函數y=
3
x
與一次函數y=x+2的圖象交于點(a,b),則
1
a
-
1
b
的值為
2
3
2
3

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•錫山區(qū)一模)兩塊大小一樣的含有30°角且斜邊為4的直角三角板如圖水平放置.將△CDE繞C點按逆時針方向旋轉至△CD′E′,當E′點恰好落在AB上時,線段CE在旋轉過程中掃過的面積為
π
3
π
3

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