【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c(a<0)的最大值為4,且拋物線過點(,﹣),點P(t,0)是x軸上的動點,拋物線與y軸交點為C,頂點為D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式,及頂點D的坐標;
(2)求|PC﹣PD|的最大值及對應的點P的坐標;
(3)設Q(0,2t)是y軸上的動點,若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個公共點,求t的取值.
【答案】(1),D(1,4);(2),P(﹣3,0);(3)t的取值是≤t<3或t=或t≤﹣3.
【解析】
試題(1)先利用對稱軸公式x=計算對稱軸,即頂點坐標為(1,4),再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式;
(2)根據(jù)三角形的三邊關系:可知P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值,求出直線CD與x軸的交點坐標,就是此時點P的坐標;
(3)先把函數(shù)中的絕對值化去,可知,此函數(shù)是兩個二次函數(shù)的一部分,分三種情況進行計算:①當線段PQ過點(0,3),即點Q與點C重合時,兩圖象有一個公共點,當線段PQ過點(3,0),即點P與點(3,0)重合時,兩函數(shù)有兩個公共點,寫出t的取值;②線段PQ與當函數(shù)(x≥0)時有一個公共點時,求t的值;③當線段PQ過點(﹣3,0),即點P與點(﹣3,0)重合時,線段PQ與當函數(shù)(x<0)時也有一個公共點,則當t≤﹣3時,都滿足條件;綜合以上結論,得出t的取值.
(1)∵的對稱軸為:x=1,∴拋物線過(1,4)和(,)兩點,代入解析式得:,解得:a=﹣1,c=3,∴二次函數(shù)的解析式為:,∴頂點D的坐標為(1,4);
(2)∵C、D兩點的坐標為(0,3)、(1,4);
由三角形兩邊之差小于第三邊可知:
|PC﹣PD|≤|CD|,∴P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值,此時最大值為,|CD|=,由于CD所在的直線解析式為y=x+3,將P(t,0)代入得t=﹣3,∴此時對應的點P為(﹣3,0);
(3)的解析式可化為:
設線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b,將P(t,0),Q(0,2t)代入得:
線段PQ所在的直線解析式:y=﹣2x+2t,分三種情況討論:
①當線段PQ過點(0,3),即點Q與點C重合時,線段PQ與函數(shù)有一個公共點,此時t=,當線段PQ過點(3,0),即點P與點(3,0)重合時,t=3,此時線段PQ與有兩個公共點,所以當≤t<3時,線段PQ與有一個公共點;
②將y=﹣2x+2t代入(x≥0)得:
,,令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0,t=>0,所以當t=時,線段PQ與也有一個公共點;
③當線段PQ過點(﹣3,0),即點P與點(﹣3,0)重合時,線段PQ只與(x<0)有一個公共點,此時t=﹣3,所以當t≤﹣3時,線段PQ與也有一個公共點,綜上所述,t的取值是≤t<3或t=或t≤﹣3.
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【題目】 已知:如圖1,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°.求證:Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等.
(1)請你用“如果…,那么…”的形式敘述上述命題;
(2)如圖2,將△ABC和A′B′C′拼在一起(即:點A與點B′重合,點B與點A′重合),BC和B′C′相交于點O,請用此圖證明上述命題.
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【題目】某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)存在一次函數(shù)關系,如圖所示.
(1)求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出x的取值范圍);
(2)應怎樣確定銷售價,使該品種蘋果的每天銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中(AD>AB),點E是BC上一點,且DE=DA,AF⊥DE,垂足為點F,在下列結論中,不一定正確的是( 。
A. △AFD≌△DCE B. AF=AD C. AB=AF D. BE=AD﹣DF
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【題目】如圖,拋物線y1=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(4,0)和B(1,0),與y軸交于點C.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)求點C的坐標及拋物線的頂點坐標;
(3)設直線AC的解析式為y2=mx+n,請直接寫出當y1<y2時,x的取值范圍.
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【題目】直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C,D分別為線段AB,OB的中點,點P為OA上一動點,PC+PD值最小時點P的坐標為.
A. (-3,0) B. (-6,0) C. (-,0) D. (-,0)
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【題目】已知:如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,過點D作DE⊥AC于點E,交BC的延長線于點F.
求證:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切線.
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【題目】放學后,小剛和同學邊聊邊往家走,突然想起今天是媽媽的生日,趕緊加快速度,跑步回家.小剛離家的距離和放學后的時間之間的關系如圖所示,給出下列結論:①小剛家離學校的距離是;②小剛跑步階段的速度為;③小剛回到家時已放學10分鐘;④小剛從學;氐郊业钠骄俣仁.其中正確的個數(shù)是( )
A.4B.3C.2D.1
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