Question

已知如圖，半徑為2的⊙A與直線l相切于C，點(diǎn)B與⊙A在l的同旁，與l的距離BD=6，DC=15，點(diǎn)P為l上到A、B兩點(diǎn)距離之和為最短的一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，并求出PC和PD．

Answer 1

解：∵半徑為2的⊙A與直線l相切于C，
∴以l為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，
連接BA’，交l與點(diǎn)P，
點(diǎn)P即要求的點(diǎn)，
∵PA=PA′，
∴PA+PB=PA′+PB=BA′（兩點(diǎn)之間線段最短）；

由作圖得∠APC=∠A′PC，
∵∠A′PC=∠BPD（對(duì)頂角相等），
∴∠BPD=∠APC，
∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，
∴tan∠BPD=tan∠APC，
∴=，
即=，
得：PD=，
則PC=15-PD=．
分析：由已知先以l為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接BA’，交l與點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)P，再根據(jù)求兩個(gè)直角三角形的正切值求出PC和PD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用軸對(duì)稱，兩點(diǎn)之間線段最短及三角函數(shù)值解答．