【題目】在直線上順次取 A,B,C 三點(diǎn),分別以 ABBC 為邊長(zhǎng)在直線的同側(cè)作正三角形, 作得兩個(gè)正三角形的另一頂點(diǎn)分別為 D,E

(1)如圖①,連結(jié) CDAE,求證:CDAE;

(2)如圖②,若 AB1,BC2,求 DE 的長(zhǎng);

(3)如圖③,將圖②中的正三角形 BCE B 點(diǎn)作適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn),連結(jié) AE,若有 DE2BE2AE2,試求∠DEB 的度數(shù).

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1)由ABDECB都是等邊三角形可得AD=AB=BD,BC=BE=ECABD=EBC=60°,所以∠ABE=DBC,所以ABE≌△DBC即可證明AE=DC;(2

如圖②中,取BE中點(diǎn)F,連接DF,由題意不難得出BF=EF=1=BD再結(jié)合∠DBF=60°可得DBF是等邊三角形,進(jìn)而推出∠EDB=90°,再由勾股定理可求出DE的長(zhǎng);3如圖③中,連接DC由已知條件不難證明△ABE≌△DBC,所以AE=DC,因?yàn)?/span>DE2+BE2=AE2BE=CE,所以DE2+CE2=CD2,所以∠DEC=90°,因?yàn)椤?/span>BEC=60°,所以∠DEB=DECBEC=30°

試題解析:

1)證明:如圖①中,

∵△ABDECB都是等邊三角形,
AD=AB=BD,BC=BE=EC,ABD=EBC=60°,
∴∠ABE=DBC
ABEDBC中,

,

∴△ABE≌△DBC,
AE=DC;
2)如圖②中,取BE中點(diǎn)F,連接DF,


BD=AB=1,BE=BC=2ABD=EBC=60°,
BF=EF=1=BDDBF=60°,
∴△DBF是等邊三角形,
DF=BF=EF,DFB=60°,
∵∠BFD=FED+FDE
∴∠FDE=FED=30°,
∴∠EDB=180°DBEDEB=90°
DE=;
3)如圖③中,連接DC,


∵△ABD和△ECB都是等邊三角形,
AD=AB=BDBC=BE=EC,ABD=EBC=60°,
∴∠ABE=DBC,
在△ABE和△DBC中,

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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112

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