Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于Q，以PQ為邊向下作等邊三角形PQR．設(shè)AP=，△PQR與△ABC重疊部分的面積為，連接RB．

（1）當(dāng)=2時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，四邊形AQRB是等腰梯形；當(dāng)取何值時(shí)，四邊形AQRB是平行四邊形．

 

Answer 1

解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°， ∴QP=AP=1．

此時(shí)△PQR在△ABC內(nèi)，y=S_△PQR=． …………………………………………3分

（2）∵四邊形AQRB是等腰梯形，∴BR=AQ， ∠PBR=∠A=30°．

∵∠APQ=∠RPQ=60°， ∴∠BPR=60°．

又∵PR=PQ， ∴△BPR≌△APQ．

∴BP=AP=．∴AP==5．

∴當(dāng)=5時(shí)，四邊形AQRB是等腰梯形． …………………………………………6分

要使四邊形PQRB是平行四邊形，則R應(yīng)在BC上．

∵△PQR是等邊三角形，∴QR=PQ=．

又∵四邊形PQRB是平行四邊形，∴BP=QR=．

∴AB=+=10，解得．

∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQRB是平行四邊形．……………………………………10分

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；一元一次方程

【解題思路】本題是一道綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多．第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，根據(jù)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以直接求出的值；第（2）問(wèn)從特殊四邊形的結(jié)論出發(fā)，去找的取值，用到了等腰梯形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及方程等知識(shí).