Question

【題目】四邊形內(nèi)接于，連接，且．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，點(diǎn)在上，連接，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若的半徑長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可得，，結(jié)合圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)性質(zhì)可得；

（2）延長(zhǎng)到使，連接，由（1）證，，得，，可進(jìn)一步得，

由，得，再結(jié)合，證，可證出；

（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，證，得，在中，由勾股定理得，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，求出，，，證，得，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證，根據(jù)，得，化簡(jiǎn)得到，在中，根據(jù)勾股定理得．

證明：（1）∵，∴，

∵，又∵，

∴；

（2）延長(zhǎng)到使，連接，

∵，

又∵，

∴，∵

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∵，

∴，∵，

∴，∴，

∴；

（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)，∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，

在中，由勾股定理得，，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，

∴，即，

∴，∴，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∵，∴，

∵，∴，

∴，即，

∵，∴，

在中，，

即，

∴（舍去），∴．