Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從B 向A運(yùn)動（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對稱中心的對稱點(diǎn)， HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時，P，Q同時停止運(yùn)動．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．

（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；

（3）當(dāng)x為何值時，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）

（3）當(dāng)x的值為時，△HDE是等腰三角形

【解析】（14分）

（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，…………………………………………………………………………3分

∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如圖1，當(dāng)時，

ED=，QH=，

此時． …………………………………………3分

當(dāng)時，最大值．

②如圖2，當(dāng)時，

ED=，QH=，

此時． …………………………………………2分

當(dāng)時，最大值．

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

y的最大值是．……………………………………………………………………1分

（3）①如圖1，當(dāng)時，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分

②如圖2，當(dāng)時，

若DE=DH，=，； …………………………………………1分

若HD=HE，此時點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，； ………………………1分

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，． ……………………………………1分

∴當(dāng)x的值為時，△HDE是等腰三角形.

（其他解法相應(yīng)給分）