Question

12．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE，EF和CF．
（1）求證：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知利用SAS判定△ABE≌△CBF；
（2）根據(jù)題意可知△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，求出∠AEB=75°．由（1）知△ABE≌△CBF，可得∠CFB=∠AEB=75°，利用角之間的關(guān)系即可解答．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，
∴∠ABC=∠CBF=90°．
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF．
（2）∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠EFB=45°．
∵∠CAE=30°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=30°+45°=75°．
由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠CFB=∠AEB=75°．
∴∠EFC=∠CFB-∠EFB=75°-45°=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．