Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當C為拋物線頂點的時候，求的面積.

（3）是否存在質(zhì)疑的點P，使的面積有最大值，若存在，求出這個最大值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在，（m為點P的橫坐標）當m=時，

【解析】

（1）把A、B坐標代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）根據(jù)第（1）問求出的函數(shù)解析式可得出C點的坐標，根據(jù)C、P兩點橫坐標一樣可得出P點的坐標，將△BCE的面積分成△PCE與△PCB，以PC為底，即可求出△BCE的面積.

（3）設動點P的坐標為（m，m+2），點C的坐標為（m，），表示出PC的長度，根據(jù)，構(gòu)造二次函數(shù)，然后求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時m的值即可.

解：(1)∵A()和B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴

解得：，

∴拋物線的解析式；

（2）∵二次函數(shù)解析式為，

∴頂點C坐標為，

∵PC⊥x，點P在直線y=x+2上，

∴點P的坐標為，

∴PC=6；

∵點E為直線y=x+2與x軸的交點，

∴點E的坐標為

∵ =

∴.

（3）存在.

設動點P的坐標是，點C的坐標為，

∵

∴

∵,

∴函數(shù)開口向下，有最大值

∴當時，△ABC的面積有最大值為.