Question

已知二次函數(shù)，其圖像拋物線交軸的于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），交y軸于點(diǎn)C.直線過點(diǎn)C，且交拋物線于另一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合）.
(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式；
(2)若直線經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)D，交軸于點(diǎn)F，且∥，則以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.
(3)若過點(diǎn)A作AG⊥軸，交直線于點(diǎn)G，連OG、BE，試證明OG∥BE.

Answer 1

（1）此二次函數(shù)關(guān)系式為：y=x²-4x+3；
（2）以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）證明見解析．

解析試題分析：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形，有兩種情形，分類討論即可；
（3）先過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點(diǎn)G與E的坐標(biāo)，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，即可．
試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c，圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴此二次函數(shù)關(guān)系式為：y=x²-4x+3；
（2）當(dāng)CD為平行四邊形對角線時，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，

∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴點(diǎn)D（2，-1），點(diǎn)C（0，3），
∴DM=1，
∵l₁∥l，
∴當(dāng)CE=DF時，四邊形CEDF是平行四邊形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，
，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC-CN=3-1=2，
當(dāng)y=2時，x²-4x+3=2，
解得：x=2±，
∴點(diǎn)E（2+，2）或（2-，2）；
當(dāng)CD為平行四邊形一條邊時，

則EF∥CD，且EF=CD．
過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N．
易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x²-4x+3=4，
解得：x=2±．
綜上所述，以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，

設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x軸，
∴點(diǎn)G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直線與拋物線的交點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），
∴，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．