【題目】一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺MNK、ACB做了一個(gè)探究活動(dòng):將MNK的直角頂點(diǎn)M放在ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處,設(shè)AC=BC=a.

(1)如圖1,兩個(gè)三角尺的重疊部分為ACM,則重疊部分的面積為 ,周長(zhǎng)為 .

(2)將圖1中的MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到圖2,此時(shí)重疊部分的面積為 ,周長(zhǎng)為 .

2(3)如果將MNKM旋轉(zhuǎn)到不同于圖1,圖2的位置,如圖3所示,猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少?并試著加以驗(yàn)證.

【答案】1)重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為a2,周長(zhǎng)為(1+a.(2)邊長(zhǎng)為a,面積為a2,周長(zhǎng)為2a.(3

【解析】解:(1∵AM=MC=AC=a,則

重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為a2,周長(zhǎng)為(1+a

2重疊部分是正方形

邊長(zhǎng)為a,面積為a2,周長(zhǎng)為2a

3)猜想:重疊部分的面積為

理由如下:

過(guò)點(diǎn)M分別作AC、BC的垂線MH、MG,垂足為H、G

設(shè)MNAC的交點(diǎn)為EMKBC的交點(diǎn)為F

∵M(jìn)△ABC斜邊AB的中點(diǎn),AC=BC=a

∴MH=MG=

∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF,

∴∠HME=∠GMF,

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積

正方形CGMH的面積是MGMH=×=

陰影部分的面積是

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③在圖(1)中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(2)拓展:如圖(2),射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E,與邊CD交于點(diǎn)F,①②③④分別是被射線FE隔開(kāi)的四個(gè)區(qū)域(不含邊界,其中③④位于直線AB的上方),P是位于以上四個(gè)區(qū)域上點(diǎn),猜想:∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關(guān)系.(不要求證明)

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A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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