Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，點(diǎn)D從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．以DE為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形ADFE，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示△DEF的面積S；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
在△ADE中，
∵∠A=90°，
∴，
∵AD=1×t=t，
∴AE=，
又∵四邊形ADFE是矩形，
∴S_△DEF=S_△ADE=（0≤t＜3），
∴S=（0≤t＜3）；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
∵DE∥BC，
∴OG=DH，
∠DHB=90°，
在△DBH中，，
∵∠B=60°，BD=AB-AD，AD=t，AB=3，
∴DH=，
∴OG=，
當(dāng)OG=時(shí)，⊙O與BC相切，
在△ADE中，
∵∠A=90°，∠ADE=60°，
∴，
∵AD=t，
∴DE=2AD=2t，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，⊙O與直線BC相切．
分析：（1）用t將AD和AE表示出來(lái)，利用三角形的面積計(jì)算方法列出關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在△DBH中利用解直角三角形的知識(shí)表示出DH和OG，利用相切的定義求得t的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．