【題目】在中,,,是的角平分線,于點(diǎn).
(1)如圖,連接,求證:是等邊三角形;
(2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),以為一邊,在的下方作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),請(qǐng)你在圖中畫出完整圖形,并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),以為一邊,在的下方作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),試探究與數(shù)量之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)AD=DG+DM;(3)AD=DGDN;理由見解析.
【解析】
(1)如解題所示,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=60°,BC=,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得DA=DB,再根據(jù)三線合一可得AE=BE=,從而證出結(jié)論;
(2)根據(jù)題意,畫出圖形,延長(zhǎng)ED至W,使得DW=DM,連接WM,先證出△WDM是等邊三角形,然后利用ASA證出△WMG≌△DMB,從而得出WG=DB,然后利用等量代換即可得出結(jié)論;
(3)延長(zhǎng)BD至H,使得DH=DN,連接HN,先證出△NDH是等邊三角形,然后利用ASA證出△DNG≌△HNB,從而得出DG=HB,然后利用等量代換即可得出結(jié)論;
(1)證明:如圖1所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴AE=BE=
∴BC=BE.
∴△EBC是等邊三角形;
(2)作圖如下,結(jié)論:AD=DG+DM.理由如下
延長(zhǎng)ED至W,使得DW=DM,連接WM.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠2=60°,∠5=180°-∠2-∠3=60°
∴△WDM是等邊三角形.
∴WD=DM=WM,∠W=∠WMD=60°
∴∠W =∠5.
∴∠WMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG
即∠WMG=∠DMB.
在△WMG和△DMB中
∴△WMG≌△DMB (ASA).
∴WG=DB.
∵WG= DG + WD = DG + DM,
∴DB= DG + DM.
∴AD= DG + DM.
(3)結(jié)論:AD=DGDN.
證明:延長(zhǎng)BD至H,使得DH=DN,連接HN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°
∴△NDH是等邊三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DGND.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,于點(diǎn)E,于點(diǎn)D,BE與AD相交于F.
求證:;
若,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在中,,,是過(guò)點(diǎn)的一條直線,且、在的異側(cè),于,于.
(1)求證:.
(2)若將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)(),其余條件不變,問(wèn)與、的關(guān)系如何?請(qǐng)予以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上,AH=2,連接CF.當(dāng)△CGF是直角三角形時(shí),線段AE的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了提高科技創(chuàng)新意識(shí),我市某中學(xué)在“2018年科技節(jié)”活動(dòng)中舉行科技比賽,包括“航模”、“機(jī)器人”、“環(huán)保”、“建模”四個(gè)類別(每個(gè)學(xué)生只能參加一個(gè)類別的比賽),各類別參賽人數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖:
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)全體參賽的學(xué)生共有 人,“建模”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角是 °;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)在比賽結(jié)果中,獲得“環(huán)保”類一等獎(jiǎng)的學(xué)生為1名男生和2名女生,獲得“建模”類一等獎(jiǎng)的學(xué)生為1名男生和1名女生,現(xiàn)從這兩類獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中各隨機(jī)選取1名學(xué)生參加市級(jí)“環(huán)保建模”考察活動(dòng),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求選取的兩人中恰為1男生1女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:∠MON=30o,點(diǎn)A1、A2、A3 在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3…..在射線OM上,△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均為等邊三角形,若OA1=l,則△A6B6A7 的邊長(zhǎng)為【 】
A.6 B.12 C.32 D.64
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+b(k≠0)與雙曲線y=(m≠0)相交于A(1,2),B(n,-1)兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的解析式;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)為雙曲線上的三點(diǎn),且x1<0<x2<x3,請(qǐng)直接寫出y1,y2,y3的大小關(guān)系;
(3)觀察圖象,請(qǐng)直接寫出不等式kx+b<的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直角三角形的鐵片ABC的兩條直角邊BC,AC的長(zhǎng)分別為3cm和4cm,如圖所示分別采用⑴,⑵兩種方法,剪去一塊正方形鐵片,為了使剪去正方形鐵片后剩下的邊角料較少,試比較哪一種剪法較為合理,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3,則△BCG的周長(zhǎng)為_____.
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