【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x﹣1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,在第二象限內(nèi)有一邊長為2的正方形CDEF,已知C(﹣1,1),若動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿著正方形CDEF的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周(到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)),設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)是否存在t,使得以P為圓心,為半徑的圓與直線AB相切?若存在,求出所有t的值;若存在,請(qǐng)說明理由.
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí),直線AB以每秒1個(gè)單位的速度向右作勻速運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)P同時(shí)停止)是否存在t,使得以P為圓心,為半徑的圓與平移后的直線A′B′相切?請(qǐng)直接寫出所有t的值.
【答案】(1)滿足條件的t的值為1或4.(2)滿足條件的t的值為或或.
【解析】
(1) 設(shè)存在點(diǎn)P.作PH⊥AB,PM⊥x軸交AB于Q,可證△PHQ∽△AOB,可得PQ=,分點(diǎn)P在CD上時(shí),與當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)討論,可得t的值;
(2)由題意平移后可得直線A′B′的解析式為,作PH⊥A′B′,PM⊥x軸交A′B′于Q.當(dāng)PH=時(shí),同法可得PQ=,分①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí),
③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí),三種情況討論,可的t的值.
解:(1)假設(shè)存在點(diǎn)P.作PH⊥AB,PM⊥x軸交AB于Q.
∵PQ∥y軸,
∴∠OBA=∠PQH,
∵∠AOB=∠PHQ=Rt∠,
∴△PHQ∽△AOB,
∴=,
∵A(﹣1,2)或(﹣3,3),PH=,
∴AO=2,AB=,
∴PQ=,
①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),t+1+=,解得t=1,
②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí),3﹣[﹣(1﹣t)﹣1]=,解得t=4,此時(shí)點(diǎn)P與E重合.
綜上所述,滿足條件的t的值為1或4.
(2)由題意平移后的直線A′B′的解析式為y=﹣x﹣1+,
作PH⊥A′B′,PM⊥x軸交A′B′于Q.
當(dāng)PH=時(shí),同法可得PQ=,
①當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),1+t﹣(﹣1+)=,解得t=,
②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí),3﹣[﹣(1﹣t)﹣1+]=,解得t=,
③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí),﹣1+﹣(6﹣t+1)=,解得t=,
綜上所述,滿足條件的t的值為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,解決問題:
學(xué)習(xí)了勾股定理后我們知道:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.根據(jù)勾股定理我們定義:如圖①,點(diǎn)M、N是線段AB上兩點(diǎn),如果線段AM、MN、NB能構(gòu)成直角三角形,則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)
解決問題
(1)在圖①中,如果AM=2,MN=3,則NB= .
(2)如圖②,已知點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)(AC<BC),在線段AB上求作一點(diǎn)D,使得C、D是線段AB的勾股點(diǎn).李玉同學(xué)是這樣做的:過點(diǎn)C作直線GH⊥AB,在GH上截取CE=AC,連接BE,作BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,則C、D是線段AB的勾股點(diǎn)你認(rèn)為李玉同學(xué)的做法對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由
(3)如圖③,DE是△ABC的中位線,M、N是AB邊的勾股點(diǎn)(AM<MN<NB),連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H求證:G、H是線段DE的勾股點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某專賣店經(jīng)市場調(diào)查得知,一種商品的月銷售量 Q(單位:噸)與銷售價(jià)格 x(單位:萬元/噸)的關(guān)系可用下圖中的折線表示.
(1)寫出月銷售量 Q 關(guān)于銷售價(jià)格 x 的關(guān)系;
(2)如果該商品的進(jìn)價(jià)為 5 萬元/噸,除去進(jìn)貨成本外,專賣店銷售該商品每月的固定成本為 10 萬元,問該商品 每噸定價(jià)多少萬元時(shí),銷售該商品的月利潤最大?并求月利潤的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,直線經(jīng)過點(diǎn),且于點(diǎn),于點(diǎn).易得(不需要證明).
(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),其余條件不變,你認(rèn)為上述結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,請(qǐng)寫出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),其余條件不變,請(qǐng)直接寫出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請(qǐng)用圖形變換(對(duì)稱、平移或旋轉(zhuǎn))解決下列各題:
(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12,若P是邊AD上的任意一點(diǎn),則△BPC周長的最小值為 .
(2)如圖2,已知M(0,1)、P(2+,3)、E(a,0)、F(a+1,0),問a為何值時(shí),四邊形PMEF的周長最?
(3)如圖3,P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PB=2,PC=3,∠BPC=150°,M、N為邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn),且AM=AN,請(qǐng)直接寫出PM+PN的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE交AB于點(diǎn)F,⊙O的切線BC與AD的延長線交于點(diǎn)C,連接AE.
(1)試判斷∠AED與∠C的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若AD=3,∠C=60°,點(diǎn)E是半圓AB的中點(diǎn),則線段AE的長為 .
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【題目】已知,一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是它相鄰的內(nèi)角的.試求出:(1)這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù);(2)求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場去年計(jì)劃生產(chǎn)玉米和小麥共200噸.采用新技術(shù)后,實(shí)際產(chǎn)量為225噸,其中玉米超產(chǎn)5%,小麥超產(chǎn)15%.該農(nóng)場去年實(shí)際生產(chǎn)玉米、小麥各多少噸?
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