【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,滿(mǎn)足∠BEC3ACD

1)如圖1,求證:ABAC;

2)如圖2,連接BD,點(diǎn)F為弧BD上一點(diǎn),連接CF,弧CF=弧BD,過(guò)點(diǎn)AAGCD,垂足為點(diǎn)G,求證:CF+DGCG;

3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)HAC上一點(diǎn),分別連接DH,OH,OHDH,過(guò)點(diǎn)CCPAC,交⊙O于點(diǎn)POHCP1 ,CF12,連接PF,求PF的長(zhǎng).

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)連接AD.設(shè)∠BEC,∠ACDα,利用等量代換得出∠ABC=∠ACB,最后進(jìn)一步證明結(jié)論即可;

2)連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZBD,通過(guò)證明△ADB≌△AZC得出ADAZ,然后進(jìn)一步證明即可;

3)連接ADPA,作OKACKORPCR,CTFPFP的延長(zhǎng)線(xiàn)于T,利用三角函數(shù)以及勾股定理進(jìn)一步求解即可.

1)證明:如圖1中,連接AD.設(shè)∠BEC,∠ACDα

∵∠BEC=∠BAC+ACD,

∴∠BAC

CD是直徑,

∴∠DAC90°,

∴∠D90°α,

∴∠B=∠D90°α,

∵∠ACB180°﹣∠BAC﹣∠ABC180°﹣(90°α)=90°α

∴∠ABC=∠ACB

ABAC;

2)證明:如圖2中,連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZBD

∵弧BD=弧CF,

DBCF

∵∠DBA=∠DCA,CZBD,ABAC,

∴△ADB≌△AZCSAS),

ADAZ,

AGDZ

DGGZ

CGCZ+GZBD+DGCF+DG

3)連接AD,PA,作OKACK,ORPCRCTFPFP的延長(zhǎng)線(xiàn)于T

CPAC,

∴∠ACP90°

PA是直徑,

ORPCOKAC,

PRRC,∠ORC=∠OKC=∠ACP90°,

∴四邊形OKCR是矩形,

RCOK,

OHPC1,

∴設(shè)OHa,PC2a,

PRRCa,

RCOKasinOHK,

∴∠OHK45°

OHDH,

∴∠DHO90°

∴∠DHA180°90°45°45°,

CD是直徑,

∴∠DAC90°,

∴∠ADH90°45°45°

∴∠DHA=∠ADH,

ADAH,

∵∠COP=∠AOD,

ADPC

AHADPC2a,

AKAH+HK2a+a3a,

RtAOK中,tanOAK,OA=,

sinOAK,

∵∠ADG+DAG90°,∠ACD+ADG90°,

∴∠DAG=∠ACD

AOCO,

∴∠OAK=∠ACO

∴∠DAG=∠ACO=∠OAK,

tanACDtanDAGtanOAK

AG3DG,CG3AG,

CG9DG,

由(2)可知,CGDG+CF,

DG+129DG,

DG,AG3DG

AD,

PCAD

sinFsinOAK,

sinF,

CT×12,FT,PT,

PFFTPT

練習(xí)冊(cè)系列答案
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