Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：①∠BAE＝∠EAF；②射線FE是∠AFC的角平分線；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

①設(shè)正方形的邊長為2,然后求出AE、FC、EF，然后比較正切函數(shù)值即可；

②由已知條件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，從而可以得到射線FE是否為∠AFC的角平分線；

④結(jié)合②③的結(jié)論，確定CF和CD的關(guān)系，從而可以判斷CF=CD是否成立；

④由已知條件和全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立．

解：設(shè)正方形的邊長為2

∵在正方形ABCD中， E是BC的中點(diǎn)

∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，

∴AE=,tan∠BAE=

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，

∴∠BAE=∠BAE

∴tan∠FEC=,CE=1

∴CF=

∴EF=

∴tan∠EAF =

∴∠BAE＝∠EAF，故①正確；

∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，

∴∠AFE=∠CFE，即射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；

∵BC=CD，BC=2CE=4CF，

∴CF=CD，故③正確；

作EG⊥AF于點(diǎn)G，

∵FE平分∠AFC，∠C=90°，

∴EG=EC，

∴EG=EB，

∵∠B=∠AGE=90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中

AE=AE，EB=EG

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）

∴AB=AG，

又∵CF=GF，AF=AG+GF，

∴AF=AB+CF，故④正確；

綜上共有4個(gè)正確結(jié)論．

故答案為D．