Question

如圖，有兩塊板材邊角料．其中一塊是正方形木板；另一塊是平行四邊形木板．王師傅想將這兩塊木板加工兩塊全等的矩形木板．他將兩塊木板疊放在一起，發(fā)現(xiàn)正方形的一組對邊與平行四邊形的一組對邊恰好重疊（如圖所示），這兩塊木板的重疊部分為五邊形ABFHD圍成的區(qū)域，測得AE=50cm，EF=60cm，點(diǎn)B是線段EF的中點(diǎn)．由于受木料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)A為一個頂點(diǎn)．
（1）寫出正方形ABCD的邊長；
（2）求DH的長；
（3）設(shè)裁出的矩形木板為矩形APMN，點(diǎn)P、N分別在邊AD、AB上，邊AP為x cm．當(dāng)x為多少時，矩形APMN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）由AE=50cm，EF=60cm，點(diǎn)B是線段EF的中點(diǎn)，可得，在直角△ABE中，BE=30cm，利用勾股定理可得出AB的長即正方形ABCD的邊長；
（2）由EF=AG=60cm，AD由（1）得出，可得出GD的長，易證△ABE∽△HDG，所以，

BE

AB

=

DG

HD

，代入數(shù)值即可得出；
（3）當(dāng)AP=BF，N、M分別和B、F重合時，矩形APMN的面積最大，S_矩形APMN=AP×AN，AP=BF，解答出即可．

解答：解：（1）∵AE=50cm，EF=60cm，點(diǎn)B是線段EF的中點(diǎn)，
∴BE=30cm，
∴AB=40cm；

（2）∵∠E=∠G，∠ABE=∠HEG，
∴△ABE∽△HDG，
∴

BE

AB

=

DG

HD

，即

30

40

=

60-40

DH

，
得，DH=

80

3

cm；

（3）當(dāng)AP=BF，N、M分別和B、F重合時，
即，AP=BF=30cm時，矩形APMN的面積最大，
S_矩形APMN=AP×AN=30×40=1200cm²；
答：（1）正方形ABCD的邊長是40cm；
（2）DH的長是

80

3

cm；
（3）AP=30cm時，矩形APMN的面積最大，最大面積是1200cm²．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意的是（3）中，要確定P點(diǎn)的位置進(jìn)行求解．