Question

在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0)，B

（1，0)，過頂點C作CH⊥x軸于點H．

（1）a= ，b= ，頂點C的坐標為 ．

（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）a=-1，b=-2，頂點C的坐標為（-1，4）；

（2）存在，點D（0，3）或（0，1）；

（3）點P坐標為或.

【解析】

試題分析：（1）將A（-3，0)，B（1，0)代入函數(shù)解析式，可求出a=-1，b=-2，然后將函數(shù)關(guān)系式配方可得頂點C的坐標；（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E，然后證明△CED∽△DOA，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出線段OD的長，即可得點D的坐標；（3）分情況討論：①若點P在對稱軸右側(cè)時，只能是△PCQ∽△CAH，延長CP交x軸于M，求得點M的坐標，則點P是直線CM與拋物線的交點；若點P在對稱軸左側(cè)時，只能是△PCQ∽△ACH，過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N，求出點F的坐標，則直線CM與拋物線的交點即為點P.

試題解析：【解析】
（1）a=-1，b=-2，頂點C的坐標為（-1，4）； 3分

（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E，

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°，

又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，

∴，

設D（0，c），則，

變形得，解之得，

綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形； ..8分

（3）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH，

延長CP交x軸于M，

∴AM=CM，

∴AM2=CM2，

設M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2，

∴m=2，即M（2，0），

設直線CM的解析式為y=k1x+b1，則，解之得，

∴直線CM的解析式，

聯(lián)立，解之得或（舍去），

∴，

②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N，

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得，

∴，點F坐標為（-5，1），

設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得，

∴直線CF的解析式，

聯(lián)立，解之得或（舍去），

∴，

∴滿足條件的點P坐標為或 14分

（其他辦法也得分）

考點：1.待定系數(shù)法求解析式；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.直線與拋物線的交點坐標.