Question

（2012•高新區(qū)一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，-12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線y=-2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒

2

個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P₁MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，待定系數(shù)法求出a、b和c的值，即可求出拋物線的解析式；
（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形，先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m，根據(jù)題意求出直線的解析式，設(shè)D（x，-2x），則BD²=（-2x）²+（6-x）²，若四邊形OPBD為等腰梯形，則（-2x）²+（6-x）²=32，解出x的值，D點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；
（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出此區(qū)間函數(shù)的最值；當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P₁G=2t-4，P₁H=t，根據(jù)三角形相似，求出S_△P1EF=3t²-12t+12，列出S和t的關(guān)系式，求出S最大值．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得

- b 2a =4 c=-12 4a+2b+c=0

，
解得

a=-1 b=8 c=-12

，
故拋物線的解析式為y=-x²+8x-12，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形，理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，x²-8x+12=0，
則x₁=2，x₂=6，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m，
則

6k+m=0 4k+m=4

，
解得

k=-2 m=12

，
則直線BP的解析式為y=-2x+12，
則直線OD∥BP，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，4），
∴OP=4

2

，
設(shè)D（x，-2x），則BD²=（-2x）²+（6-x）²，
當(dāng)BD=OP時(shí)，（-2x）²+（6-x）²=32，
解得x₁=

2

5

，x₂=2，
當(dāng)x₂=2時(shí)，OD=BP=2

5

，四邊形OPBD是平行四邊形，舍去，
當(dāng)x=

2

5

時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形，
故當(dāng)D（

2

5

，-

4

5

）時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形；

（3）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒

2

個(gè)長度單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MP=

2

t，
∴PH=t，MH=t，HN=

1

2

t，
∴MN=

3

2

t，
∴S=

3

2

t•t•

1

2

=

3

4

t²，
當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值=3，

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵M(jìn)N∥OB，
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴

S△P1EF

S△P1MN

=（

P1G

P1H

）²，
∴

S△P1EF

3 4 t2

=（

2t-4

t

）²，
∴S_△P1EF=3t²-12t+12
∴S=

3

4

t²-（3t²-12t+12）=-

9

4

（t-

8

3

）²+4，
當(dāng)t=

8

3

時(shí)，S有最大值=4，
因?yàn)?＞3，
故S存在最大值，S的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線解析式的求法，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸的求法，第三問需要進(jìn)行分類討論，此題難度較大．