Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，-m-1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，連接BD，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）將A（-1，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax²+bx-3a中，
得

a-b-3a=0 -3a=-3

，
解得

a=1 b=-2

，
∴y=x²-2x-3；

（2）將點(diǎn)D（m，-m-1）代入y=x²-2x-3中，得
m²-2m-3=-m-1，
解得m=2或-1，
∵點(diǎn)D（m，-m-1）在第四象限，
∴D（2，-3），
∵直線BC解析式為y=x-3，
∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3-2=1，
∴點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D'（0，-1）；

（3）存在．
過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，交直線BC于F點(diǎn)（如圖），
∵∠PCB=∠CBD，
∴CP∥BD，
又∵CD∥x軸，四邊形PCDB為平行四邊形，

∴△OCP≌△EDB，
∴OP=BE=1，
設(shè)CP與BD相交于M點(diǎn)（m，3m-9），
易求BD解析式為：y=3x-9，
由BM=CM，得到關(guān)于m的方程，解方程后，得m=

9

4

；
于是，M點(diǎn)坐標(biāo)為：M（

9

4

，-

9

4

）；
于是CM解析式為：y=

1

3

x-3，
令CM方程中，y=0，則x=9，
所以，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（9，0），
∴P（1，0），或（9，0）．