Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C₁：y₁=-x²+2x．
（1）將拋物線C₁先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線C₂，求拋物線C₂的頂點P的坐標及它的解析式．
（2）如果x軸上有一動點M，那么在兩條拋物線C₁、C₂上是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形（OP為一邊）？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意拋物線：y₁=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴其頂點坐標為（1，1）
當把C₁向右平移2個單位，再向上平移1個單位時，
拋物線C₂的頂點P的坐標為（3，2）
∴C₂的解析式為y₂=-（x-3）²+2；

（2）符合條件的N點存在．
如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點P的坐標為（3，2），
∴NB=PA=2，
∵點N在拋物線y₁、y₂上，且P點為y₁、y₂的最高點
∴符合條件的N點只能在x軸下方，
當點N在C₁上時，y1=-2，即-2=-（x-1）²+1，
解得：x=1±，
∴N₁（1+，-2），N₂（1-，-2）；
當點N在C₂上時，y2=-2，即=-（x-3）²+2=-2，
解得：x=5或1，
∴N₃（5，-2），N₄（1，-2），
∴滿足條件的點N有4個，分別是N₁（1+，-2）、N₂（1-，-2）、N₃（5，-2）、N₄（1，-2）．
分析：（1）先利用配方法，把y₁化為頂點式，直接利用二次函數(shù)平移的規(guī)律求出平移后的二次函數(shù)的頂點坐標問題得解；
（2）假設(shè)符合條件的N點存在，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等，找出點N到x軸的距離，即拋物線的縱坐標，代入解析式，解方程解決問題即可．
點評：此題考查利用平移的規(guī)律求二次函數(shù)頂點式解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解決問題．